Se sabe que la serie armónica diverge, así que debe haber una suma parcial de la misma que excede a $\pi$. Según mis cuentas, esto ocurre por primera vez cuando $k=13$ pues \[ \sum_{k=1}^{13}\frac{1}{k} = 3{.}18\ldots \] pero $\sum_{k=1}^{12}\frac{1}{k} = 3{.}10\ldots$. Haciendo unos pocos cómputos más, pareciera ser que \[ \sum_{k=1}^{13}\frac{1}{k}+\sum_{k=14}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \pi, \] pero no ha de ser, porque la suma de la serie armónica alternante converge a $\ln(2)$ y la diferencia con esta es un número racional. ¿Cuál será el patrón?
jueves, 14 de marzo de 2024
viernes, 1 de marzo de 2024
Ante el inicio de campañas (y primera entrada del año)
Me gustaría decir que escribo esto para convencer, pero la verdad no creo que sea posible. Más bien es para ordenar un poco mis ideas.
Por un lado, me han hablado mucho de ceguera; en un caso muy específico, en relación al crecimiento del PIB de México en los últimos años. Por lo menos desde 1989 (aunque en realidad todavía desde más atrás, considerando los datos del Banco Mundial), la tendencia de México ha sido mayormente ascendente en este aspecto. Podría argumentarse que el crecimiento era más rápido hasta 1981, pero incluso en esas épocas posteriores, cuando hubo decrecimiento, el que se acumuló fue de algo así como un 5 % para el año en que nací, y como el 6 % en la tristemente célebre crisis de 1994-1995. Desde entonces no había habído una caída tan grande sino hasta la pandemia, que fue de más de 8.5 %, sin contar la que de 2019 que fue de alrededor de 0.2 %. Fue pequeña, pero caída al fin.
El punto aquí es que si quieren defender al actual gobierno, sostener que está bien que continuemos sobre la misma senda y quieren usar solamente los datos de un crecimiento muy alto (inmediatamente posteriores al descalabro pandémico), entonces el argumento no es válido, pues durante el sexenio 2012-2018 nunca hubo decrecimiento, por ejemplo. Salvo por el 16.88 % de los votos por el oficialismo en 2018, se entiende que a la mayoría no le pareció ese un buen argumento para la continuidad, si es que aceptáramos un ad populum.
Al manifestar esto se agregan otros argumentos. Pero eso extra tendría que estar desde el principio, porque los datos están a la vista; es decir, la ceguera no es por mi parte hasta ese punto. La cuestión es que no se puede ir agregando "contexto" hasta que salga lo que uno quiere; hay que elegir un buen argumento de inicio. Por eso lo razonable que hago es sujetarme lo más posible al punto en cuestión.
Sería una preocupación entendible el que pudieran decir "Igual tu rebates hasta que sale lo que quieres". No lo sé. Por ejemplo para mí era bastante razonable, en términos de la teoría elemental de la oferta y la demanda en economía, que si se incrementa el salario mínimo entonces van al alza tanto el desempleo como la inflación. Pero este gobierno ha realizado incrementos bastante fuertes (aunque no lo suficiente como para contrarrestar la inflación en lo que toca al poder adquisitivo) en el salario mínimo sin efectos grandes en el desempleo y la inflación (por lo menos hasta ahora). Y buscando evidencia para respaldar mi postura original o explicar cómo no ocurre lo que se espera, me encuentro con que no la hay. En consecuencia, debo reconocer que el actual gobierno hizo bien subiendo el salario mínimo.
- ¿Ha crecido entonces de manera inusitada la economía durante este sexenio? No, según los datos del Banco Mundial o del Inegi.
- ¿Ha disminuido sustancialmente la deuda externa de México? No, según datos del mismo gobierno, pues la deuda en el sexenio anterior, por ejemplo, en promedio fue del 7.6 % (con desviación estándar de 1.2 %), mientras que la de cuatro años del actual fue de 8.2 % (con desviación estándar de 0.9 %). Eso sin mencionar que el actual gobierno sí ha contratado deuda.
- ¿Hay más inversión extranjera? Tampoco. Al menos, no ha alcanzado el pico que ocurrió en 2013, según datos de la Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo. Lo más que podría decirse es que se ha mantenido estable.
- ¿Está mejor la salud? No, hasta el presidente actual ha reconocido el desabasto.
- ¿Se acabó con la corrupción? No, hasta el presidente reconoció que hubo un desfalco en Segalmex. Eso sin mencionar el caso ya juzgado de la retención de fracciones de salarios por parte de Delfina Gómez, por ejemplo.
- https://www.gob.mx/presidencia/articulos/version-estenografica-conferencia-de-prensa-del-presidente-andres-manuel-lopez-obrador-del-27-de-julio-de-2022
- https://www.gob.mx/presidencia/articulos/version-estenografica-conferencia-de-prensa-del-presidente-andres-manuel-lopez-obrador-del-29-de-junio-de-2023
- https://www.te.gob.mx/front3/bulletins/detail/4399/0
- ¿Estamos mejor en la prueba PISA? No, empeoró sustancialmente desde 2018 a 2022. ¿Fue culpa de la pandemía? Sí, en buena parte quizá, porque en promedio los puntajes cayeron 15 puntos en matemática y 10 en lectura (en ciencias en promedio se quedó igual) para la OECD, mientras que en México las caídas fueron de 14, 5 y 9, respectivamente. Sólo en lectura se advierte que no fue tan grave la caída, por lo demás estuvo igual o peor que en el promedio de los países más desarrollados.
- ¿Se redujo la tasa de defunciones fetales? No. De acuerdo con el nuevo esquema de captación de datos, subió de 18.9 % a 19.5 % entre 2019 y 2022. Incluso con el esquema anterior de 2022 a 2021 se detuvo la caída, quedándose en 14.4 % entre 2021 y 2022. Se sabe que este índice es un buen resumen del desarrollo de un país (contra el HDI, por decir), pues es bastante claro que algo no está bien si no puede salvar a cada vez más niños de morir apenas han nacido.
- ¿Cayó la desigualdad? Sí, por lo menos de 2020 a 2018 bajó de 46.7 a 45.4, medido según el índice Gini. Sin embargo, también había caído de 2014 a 2018 de 48.7 a 46.7. Veremos que pasa para 2024, pero tampoco nadie usó esta tendencia descendente para decir que era bueno que continuara el partido oficialista del sexenio 2012-2018.
- ¿Cayó la pobreza? Sí, en general, continuando con una tendencia que ya tenía desde 2016 en cuanto a la pobreza moderada y que se interrumpió con la pandemia. Sin embargo, en cuanto a pobreza extrema subió de 7.0 % en 2018 a 7.1 % en 2022. Y eso sin considerar los demás ejes, como rezago educativo o servicios de salud.
- ¿Ha habido menos homicidios? Sí, hubo una reducción del 6.7 % de 2018 a 2021. Debe contrastarse eso con el compromiso de reducirlos en un 50 %, como había prometido el actual presidente. Al mismo paso, tardará unas dos décadas en reducirse a la mitad, que es más o menos donde estaba a principios de siglo, pero ni siquiera eso es lo más bajo que ha estado; el mínimo desde entonces ocurrió en 2007.
- ¿El desempleó bajó? Sí, pero continuando con una tendencia que había iniciado desde el sexenio 2012-2018, y aún no alcanza el mínimo de 1999-2001.
En resumen, podríamos disculpar en parte al gobierno actual por causa de la pandemia, pero fuera de ello no ha sido un gobierno extraordinario en un sentido positivo y en cambio sí ha agravado situaciones que de suyo ya eran preocupantes, o ha creado algunos problemas nuevos. Por ello, yo creo que el mejor argumento para pedir que haya un sexenio de continuismo es que simplemente nos cae mejor esa candidata que los otros.
sábado, 9 de septiembre de 2023
El llamado cuarto piso
En mi opinión hacer arte es elegir. Elegir con cierta conciencia, desde luego. Pero, vaya, primero es elegir.
En el caso del contrapunto, si tenemos a nuestra disposición $2k$ tonos igualmente espaciados en la octava, entonces hemos de elegir $k$ de ellos para que sean consonancias ($K$) y el resto disonancias ($D$). Bueno, al menos eso sucedió por allá por el siglo XIV en el Renacimiento cuando $k = 6$, y quedaron $K=\{0,3,4,7,8,9\}$ y $D=\{1,2,5,6,10,11\}$.
Guerino Mazzola descubrió que esta partición tiene la propiedad de que existe un único morfismo afín $p(x) = 5x+2$ que trasmuta consonancias en disonancias y de regreso. Considerando a toda la órbita de una partición $(K/D)$ bajo los morfismos afines $vx+u$ con $v\in \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}^{\times}$ y $u\in \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}$ como formas esencialmente equivalentes de la misma, se ve que hay seis clases de equivalencia: los famosos seis mundos de contrapunto.
Pues cuando $k=9$ (o sea, en una escala equitemperada de $18$ tonos) hay exactamente $40$ mundos de contrapunto. O sea que soy dicotómico de contrapunto por novena vez en mi vida. La vez anterior, cuando tenía $15$, ni me imaginaba que llegaría a doctorarme en matemática (dice el doctor Emilio Lluis Puebla que fui el primero en la Facultad de Ciencias con una tesis sobre musicología matemática) ni que aportaría una sucesión a la OEIS con el número de mundos de contrapunto. ¿Llegaré a ser dicotómico de contrapunto por décima ocasión? Se ve difícil pero no imposible.
martes, 16 de mayo de 2023
Una sobre la amistad
No es un secreto que tengo esta bitácora de hace tiempo, y que igual que con mi cuenta de Féisbuc (por ejemplo) la abrí cuando ya iba un poco de salida la moda de publicar en ellas. De vez en cuando subo cosas de matemática... y José, a quien yo calificaría como mi mejor amigo, me ha hecho observaciones sobre errores, imprecisiones o incompletitudes en más de una ocasión. Recuerdo que muy al principio me molestaba, con una impresión como de que «¿Y en qué le afectan mis publicaciones, o por qué está tan al pendiente de mis errores? ¡Si es mi amigo!». Eso transpiró en mis respuestas, y José me señaló que en realidad era hacer honor a los principios de Donald Knuth, pues los errores repugnan y hay que corregirlos; que no era algo «personal» ¡ni mucho menos!
Y eso fue, yo diría, un obsequio doble. Por un lado entendí que mi amigo, sin duda, simplemente me hacía notar algo... Debería concluir lo hacía justo por el aprecio, porque igual a mí tampoco me gustaría que a mi amigo le restaran seriedad o fuera objeto de burlas por no fijarse o dejar cosas incompletas, pudiendo hacer algo. Pero entendí algo más: ¡hasta cierto punto valdría lo mismo si fuera mi peor enemigo! Si he dicho que $2^{8} - 1$ es un número de Fermat y me dice que no es así, entonces tiene razón en cuanto a que me he equivocado y que así lo puedo corregir, no importa finalmente quién o por qué me lo haya dicho.
Antes yo había tomado algo en serio eso de que «los enunciados se toman de quien vienen». ¡No! Se evalúan en términos de su veracidad o relevancia en relación a lo que nos dicen. Y, si uno está mal, entonces lo reconoce y corrige.
Y es otra (entre muchas) de las razones por las que considero a José mi mejor amigo. Sé que puedo confiar en él en que con frialdad y rigor me señalará errores matemáticos (y también los no matemáticos), y eso no lo hace cualquiera con la paciencia que me tiene. Como dijo J. K. Rowling: «It takes a great deal of bravery to stand up to our enemies, but just as much to stand up to our friends», y ahora lo entiendo.
Gracias por los años de amistad, José. Y que sean muchos, ¡albricias!
lunes, 8 de mayo de 2023
Unas palabras en memoria del doctor Modesto Seara Vázquez
En la reciente ceremonia en honor al doctor Seara, hubo quien dijo que al doctor no le gustaban los halagos ni los homenajes, pero que se imponía ahí la voluntad de la mayoría y que pues por eso se hizo.
A mí no me preguntaron, claro, porque si esa era la opinión del doctor Seara (no lo escuché alguna vez enunciarla, pero su vida era muy congruente con ello) entonces yo estaría más que de acuerdo. No hay evidencia de que su persona persista en parte alguna y, precisamente por eso, es vano dirigirle un encomio personal; ya no es tiempo. Pero su obra, su legado, eso sin duda todavía está frente a nosotros, y por eso me gustó mucho el discurso de alguien que elogió tanto sus ideas como las rutas que trazó. Y, vaya, los vivos podemos hacer lo que nos plazca dentro de los confines de la realidad, y en particular necesitamos sentir algo de consuelo y aliento ante la muerte de alguien tan querido y en cuya guía y fortaleza se confió durante tanto tiempo... tanto, que se antojaba eterna. Pero no lo fue, no podía serlo.
Tengo la impresión de que a más de una persona de las que me ven y me prejuzgan no saben o se les olvida que yo estudié en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, y que viví en carne propia la disciplina que eso implica. Quizá tampoco saben que fui parte del H. Consejo Académico de mi alma mater. Y fue ahí donde pude intercambiar las primeras palabras con el doctor Seara. El motivo fue que, tanto como me fue posible, llevé algunas preocupaciones de los estudiantes ante tal organismo y en particular cuestioné la utilidad de cierto programa de la universidad. Y con mucha autoridad lo defendió el doctor Seara. Algún tiempo después traté de confirmar si había evidencia de que tuviese razón el doctor, pero no la había y más bien la que sí había iba en dirección contraria. Cuando redacté un informe al respecto, y se lo presenté a otro doctor de la vieja guardia y que lo conocía bien, recuerdo que me dijo: "Esto no le va a causar mucha gracia". Quién sabe. Me han dicho otras personas que lo conocen que sí era susceptible a aceptar la evidencia.
Tuve la fortuna de platicar con él en algunas otras ocasiones; y digo fortuna porque coincido con otros en que era una persona de aguda inteligencia y amplísimo conocimiento. La última vez que intercambié algunas palabras con él me sorprendió gratamente que estuviese familiarizado con la obra de Antonio de Cabezón, y me pareció que con ello comprendió la importancia de la musicología matemática; recuerdo que se sintió contento de ver mi libro sobre contrapunto y del cual le obsequié un ejemplar, y me dijo un poco en serio, un poco en broma que "¿Para cuándo la medalla Fields?".
Me siento algo en deuda con el doctor porque ya es seguro que no obtendré la medalla Fields, pero también me viene a la mente un fragmento de uno de sus atinadísimos discursos: "Yo no creo que entre los profesores, los académicos que estamos en el sistema, alguno sea un premio Nobel. Pero trabajan más que los premios Nobel". Y eso es algo que tenía el doctor Seara: que sabía arengar. Por eso me gustaba ir a sus discursos de inauguración o de clausura de cursos: porque siempre decía algo que levantaba el espíritu e impulsaba a ir hacia adelante, para trabajar más que un premio Nobel.
La última comunicación que tuve con el doctor fue por correo electrónico, que él mismo redactó. Debo confesar que me provocó sentimientos encontrados, pues fue una respuesta a algo que venía hablando de manera indirecta con la rectoría. Parece que al final resultó en algo que salió lo suficientemente bien para su gusto, y ojalá que para el de ustedes también: fue un video de divulgación matemática.
En fin, que hoy es lunes y hay que laborar. Me gustan los comienzos de semana porque son una oportunidad de hacer las cosas mejor que la anterior, lo cual creo está en sintonía con el espíritu del doctor. Yo recuerdo que un día le dije a un compañero de la carrera, cuando era estudiante, que yo vislumbraba al Instituto de Física y Matemáticas de la UTM como uno de los mejores del mundo, al nivel del Courant o el IHÉS o incluso mayor, y me miró con incredulidad. Igual no llegamos a eso mientras yo esté vivo, pero hacia allá hay que dirigirnos, y por mí no va a quedar. En mi opinión es la forma más justa de honrar la memoria del doctor Modesto Seara Vázquez.
jueves, 4 de mayo de 2023
Hacerle al moscardón
Una vecina que tenía diario ponía la misma canción de reguetón. Infortunadamente no la ponía lo suficientemente alto como para que calificara como contaminación auditiva y así pudiera tener un motivo para pedirle que dejara de hacerlo. Ante un comportamiento tan repetitivo, un día me dió curiosidad de averiguar cuál canción era y, pues, qué tendría de especial. Resultó ser "Madrid", interpretada por Juan Luis Londoño Arias. Fuera de su letra particularmente soez y pérfida, no la encontré notable en algún otro sentido. Pero ahora tengo un dato de al menos una canción de ese individuo. Motu proprio jamás habría hecho mucho por adquirir esa información.
Tal es mi propósito al hablar 20 segundos en la radio sobre matemática, ciencia o tecnología. Soy un pésimo locutor y mi redacción es adrede escueta y directa (sin mencionar que de todos modos no tengo mucho margen en tan exiguo tiempo). Pero yo pienso que habrá quien terminé por sucumbir a la curiosidad de saber por qué hago eso y qué, de lo que logra entender, le sirve para sacar una punta de madeja. Y tiene que ser así, con cuña, porque casi nadie por voluntad propia investigará. Y, si no investiga, como yo al principio con ese reguetón, entonces terminará por acostumbrarse y encontrarlo un poco menos enojoso.
martes, 14 de marzo de 2023
Por el Día de Pi 2023
Preparando mi plática sobre $\pi$ escribía sobre cómo se obtiene «experimentalmente», y pasó que las más de las veces al dividir la circunferencia sobre el diámetro de un círculo, como una tapa o una taza, no sale cercano al consabido $3{.}14$, sino mayor.
Considerando que \[ \pi \approx \frac{C}{D} \] entonces, el error en la estimación de $\pi$ es \[ -\frac{C}{D^{2}}dD = -\pi \frac{dD}{D}. \]
Suponiendo que falla por defecto la medición del diámetro por un milímetro, para un círculo de diámetro $7$ cm tendrías un error por exceso en la estimación de $\pi$ de más o menos $\pi(0{.}1)/7 > 0{.}042$ cm. Y, en efecto, me salía algo así como $3{.}18$.
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