lunes, 25 de junio de 2012

Para el buzón de quejas y sugerencias (1)

  • Que admitieron las horrorosas palabras "friki", "blog", "chat" y demás pen&%&# en el diccionario de la RAE. ¡Me lleva la ch*&#*&#$! ¡Si para empezar la puñetera palabra "blog" es de por sí una horrenda construcción en inglés! Pero no es culpa de la RAE. Es de los usuarios de la lengua.
  • Con todo el debido respeto que me merecen los doctores Tim W. Fawcett y Andrew D. Higginson: ¡que vayan y ch&%#&%%&/%&%! ¿Cómo que por poner matemática en los artículos de biología los especialistas no los leen y luego no hacen los experimentos para comprobar las teorías? A otro perro con ese hueso. Una de dos: o aprenden más matemática, o se juntan más y mejor con los matemáticos. Digo: yo como matemático podría alegar que como no le entiendo a los términos biológicos en un artículo, no me interesa trabajar en esos temas. Qué coraje. Se reciben retaches, por cierto.
  • Han llegado hasta mis oídos las noticias de que tengo algunos seguidores por mixtecas latitudes, a los que les mando muchos y cordiales saludos y agradecimientos.
  • Espero hayan notado que mi entrada anterior participa en el Carnaval de Matemática(s). Ojalá voten por mi contribución los que la encuentren disfrutable. Sobre todo porque muy probablemente será "debut y despedida".

jueves, 21 de junio de 2012

Unos grafos que no son planos y la banda de Möbius

Una página que puedo recomendar ampliamente es Cut the Knot. Recientemente la redescubrí porque andaba buscando un modelo para realizar un "manifiesto matemático"; algo así como el "A Mathematician's Lament" de Lockhart, pero menos enfocado a la educación y más a la "defensa" de la Matemática como un arte, como una actividad no solo útil sino intrínseca a la humanidad. Ahí está uno, y de momento no puedo mejorarlo.

Pero no es eso de lo que quiero hablar en esta entrada. Antes de continuar, vale decir que un grafo básicamente es un montón de puntos conectados con líneas (no necesariamente rectas), y se dice plano si se puede redibujar en el plano euclidiano de modo que las líneas no se crucen (¡pero sin desconectar lo que originalmente está conectado, ojo!).

Resulta que hurgando en el susodicho sitio sobre la no-planaridad del grafo bipartito completo $K_{3,3}$ (y que popularmente está asociado al "problema del agua, luz y electricidad"), Stuart Anderson sugiere que una forma de demostrarla es embebiendo  $K_{3,3}$ en una banda de Möbius sin que se crucen sus aristas. Más aún: el mismo truco sirve para demostrar que el grafo completo de cinco vértices tampoco es plano.

Buscando en la red encontré que Maxim Rytin hizo un programa en Mathematica para ver la construcción de manera interactiva, y no sólo en la banda de Möbius, sino también en un toro. Mejor aún: ¡incluyó el maravilloso grafo de Petersen!

Sin embargo, sus embebimientos no son muy simétricos o satisfactorios desde mi punto de vista, así que decidí hacer los míos.
El grafo bipartito $K_{3,3}$. Noten la bella simetría que le proporciona la banda de Möbius. Los vértices con número par forman una parte y los impares la otra.
El grafo de Petersen. Bueno, tal vez debiera ser de Kempe, pero esa es otra historia.  El camino de las orillas puede pensarse como el pentágono exterior en los dibujos clásicos de este grafo, y el de en medio como el pentagrama interior.
El grafo completo $K_{5}$. De hecho, es la triangulación simplicial más pequeña de la banda de Möbius.
Espero se hayan dado cuenta de que los vértices están numerados con la notación de punto y barra (aprovecho para insistir en que no la inventaron los mayas). Esto es porque los símbolos son muy simétricos y aptos para el caso en que se dibujen sobre un material transparente. De hecho, es mejor construir así una banda de Möbius, porque el papel opaco "esconde" el hecho de que este espacio topológico solamente tiene una cara. Para que se puedan ver los vértices de los grafos apropiadamente, tuve que dibujarlos por los dos lados de la cinta antes de pegarla.

Es muy interesante que $K_{5}$ divide a la banda en triángulos, $K_{3,3}$ en rectángulos y el grafo de Petersen en "pentágonos". Como la característica de Euler (caras menos aristas más vértices) de la banda de Möbius es $0$, sucede que $K_{5}$ tiene $5$ caras triangulares, $K_{3,3}$ tres caras rectangulares y el grafo de Petersen $10$ caras pentagonales.

Si pulsan en los enlaces abajo de cada fotografía encontrarán unos archivos en formato PDF para imprimir y armar.


Esta entrada participa en la edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuya bitácora anfitriona es Scientia.

miércoles, 20 de junio de 2012

Lo que diga la mayoría...

Sé que me voy a arrepentir por escribir esta entrada. Pero un amigo me preguntó la razón por la cual no me había manifestado sobre cierto asunto espinoso. Pensé entonces que sería positivo, después de todo, hacer algo. Esto es lo mejor que se me ocurre.

Supongamos que tenemos un conjunto de $N$ bolas y que a algunas se les asigna uno de $3$ colores (digamos: blanco, negro y gris) de la siguiente manera: con la misma probabilidad se puede elegir cualquiera de los tres colores o no colorearla. Luego se guardan las bolas en una bolsa opaca. Damos por sentado que las bolas no adquieren ni cambian espontáneamente su color.

Digamos ahora que $n$ personas desean saber aproximadamente cuántas bolas hay de cada color, así que cada una elige exactamente $t$ de ellas al azar como muestra. Luego publican sus resultados.

Finalmente, un árbitro decide tomar aleatoriamente $\lfloor PN\rfloor$ bolas, donde $0\leq P\leq 1$. Pero, como quiere que todas estén coloreadas, las colorea escogiendo uniformemente al azar los tres colores para cada bola que no esté pintada. Se decide que la "distribución oficial" de colores es la que obtenida por el árbitro. El resto de las bolas no pintadas se ignora.

Hice un programa en GNU Octave 3.2.4 para simular este proceso. En un experimento con $N=100$, $n=5$, $t=10$ y $P=0.8$, resulta que:
  • Hubo $29$, $23$, $21$ bolas blancas, negras y grises, respectivamente. Las $27$ restantes quedaron sin color.
  • De los muestreos de las $5$ personas, una dice que $50\%$ son blancas, el $20\%$ son negras y $10\%$ son grises; otra que son $20\%$, $50\%$ y $0\%$ (!) respectivamente; otra más que las proporciones son $20\%$, $10\%$ y $40\%$. De las otras dos, baste decir que ambas estiman que hay más negras. ¿Declararían los dos primeros que hay "empate técnico" entre blancas y negras?
  • Combinando por medio de un promedio los resultados de todos los muestreos, tenemos las proporciones $26\%$, $32\%$ y $16\%$. Interesante, ¿verdad? Nótese que cada uno de los muestreos usó un nada despreciable $10\%$ del total de bolas (pues $\frac{t}{N}=0.1$).
  • El árbitro obtuvo el resultado $31.25\%$, $32.5\%$ y $36.25\%$. Según él, deberían ser ¡más bolas grises, aún cuando originalmente son el color minoritario!
Obviamente, éste es un resultado entre muchos posibles. Pero creo que ofrece una idea del por qué hay que conducirnos con cuidado respecto a las encuestas electorales, y por qué la votación al final puede ser muy interesante.

martes, 5 de junio de 2012

Sobre el tránsito de Venus

Hoy ocurrió un tránsito de Venus. El de 2004 no lo vi, la verdad no le presté atención, y ahora lo lamento enormemente. Estos acontecimientos son raros y valiosos para la ciencia: en su momento permitieron determinar el tamaño del Sistema Solar por medio del paralaje, y en esta ocasión servirán para calibrar los métodos utilizados para detectar exoplanetas. Ahora que viene una pequeña en camino, quería conservar algo para mostrarle sobre este singular evento, pues posiblemente ella no tendrá oportunidad de verlo.

Preparé un espejo de Angélica (muy apropiado porque tiene su base y puede girar) como dice la página del Dr. Hugh Hunt y lo probé para ver si funcionaba.

Por cuestiones de óptica, entre más pequeña es la superficie reflejante, se necesita menos distancia para proyectar una imagen razonablemente grande, a costa de hacerla más tenue. Con el arreglo que hice, el reflejo era débil, pero confiaba en que algo se vería.


Salía de clase cuando aproximadamente iniciaba el fenómeno por estas latitutes (algo después de las 17:00, hora local). Intenté primero en el salón de clases mientras salió el sol un rato, mas un árbol y la falta de distancia para lograr un reflejo de tamaño apropiado se atravesaron. Enseguida se nubló, y algunos de mis alumnos me siguieron para ver si el clima daba una pequeña oportunidad. Inclusive se quedaron para verlo aunque fuera en la página de la NASA en mi cubo. Nada. Hasta lloviznó.


Terminada la jornada laboral guardaba algunas esperanzas de que el cielo se aclarara para alcanzar por lo menos un atisbo. Lástima, no hubo suerte.

viernes, 1 de junio de 2012

Friedrich Hirzebruch (1927-2012)

El pasado domingo 27 de mayo murió Friedrich Hirzebruch. Fue uno de los gigantes de la topología algebraica, entre otras cosas. Por poner un ejemplo: generalizó el teorema de Riemann-Roch (que relaciona a los ceros y polos de una función sobre una curva de un modo complicado pero sorprendente), lo que finalmente condujo a una generalización todavía más profunda por parte de Grothendieck y después a la K-teoría; ese resultado también fue precursor del celebrado teorema del índice de Atiyah y Singer.

Es algo interesante que le tocó vivir su niñez y juventud durante la Alemania nazi, por lo que tuvo que afiliarse a la división infantil de las Juventudes Hitlerianas. No había cumplido los 18 cuando se enlistó en la Wehrmacht (o sea, las fuerzas armadas de su país), y los Aliados lo hicieron prisionero, pero con tan buena fortuna que ese mismo año se terminó la guerra y lo liberaron; justo a tiempo para que entrara a la universidad de Múnich.