jueves, 1 de agosto de 2013

Mol de moles

No puedo determinar con seguridad si me gusta xkcd. Tiene cosas muy interesantes, en particular su sección "¿Qué tal si?" ("What if?", en inglés). Ahí, se contestan preguntas alocadas de los lectores "con física" (según el autor, pero en varios casos acude a humilde y llana matemática).

Quiero hacer aquí un pastiche de la cuarta entrega de dicha serie: ¿qué pasaría si uno reuniera un mol de topos? Hay que tener en cuenta que en inglés tanto mol como topo se dicen mole, de donde seguramente vino la inspiración para preguntar eso.

Bueno: en español creo que se puede jugar igual pero con el mole, y plantearnos la posibilidad de juntar el contenido de un mol de bolsitas de mole, que es una presentación con la que comercializa cierta marca algo famosa (a niveles binacionales por lo menos, si no es que internacionales).

Tales bolsitas de medio kilogramo, debido al retacamiento del mole, se vuelven casi esferas con un radio de unos $4.5$ centímetros, según aproximo a partir de fotografía una mano sosteniendo una de ellas. Podemos estimar que su volumen es de

\[ \frac{4}{3}\pi (0.045)^{3} = 3.8\times 10^{-4} \] metros cúbicos. Por lo tanto, la densidad del mole es, más o menos, \[ \frac{0.5}{3.8\times 10^{-4}} = 1315.8 \] kilogramos sobre metro cúbico. Es significativamente más que la del agua, seguramente por todas las especias, el chocolate y el pan que hay que echarle. Además, me parece que esta es la versión "condensada", que después se diluye para su consumo.

Ahora bien: un mol es el número de átomos de carbono 12 presentes en 12 gramos de ese elemento, y son muchísimos: $6.022\times 10^{23}$. Vale: pues la masa del mol de bolsitas de mole (ya sin el plástico) es, sin mucho cálculo, $3.011\times 10^{23}$ kilogramos, mientras que su volumen es $(3.8\times 10^{-4})(6.022\times 10^{23})=2.3\times 10^{20}$ metros cúbicos. En xkcd se estima el grosor de la capa de topos que se acumularía sobre la Tierra, y le salen unos $80$ kilómetros. Si nosotros hacemos lo mismo con el mole, el mar de mole tendría una profundidad aproximada de \[ \frac{2.3\times 10^{20}}{4\pi r_{\text{Tierra}}^{2}} = \frac{2.3\times 10^{20}}{4\pi (6.371\times 10^{6})^{2}} = 4.5\times 10^{5} \] o algo más de $450$ kilómetros. ¡Vaya! Más bien sería una corteza de mole. En xkcd se dibuja, junto con la capa de topos, a la Estación Espacial Internacional. La EEI le da vueltas al planeta en órbita baja, lo que quiere decir que anda máximo a unos $400$ kilómetros de la superficie, por lo que quedaría bien sumergida en el sabroso guiso.

Naturalmente, e igual que con los topos, no sería deseable que esto sucediera. De modo que abrimos las bolsitas en el espacio y dejamos que se forme un planeta de mole, que tendría un radio de \[ \sqrt[3]{\frac{2.9\times 10^{20}}{\frac{4}{3}\pi}} = 3.8\times 10^{6} \] metros, o unos $3800$ kilómetros, suponiendo que es despreciable la compresión del mole respecto a la presión ejercida por la gravedad. Este planeta de mole es un poco más grande que Marte; estaría bueno que el mole fuera rojo, ¿no? Aunque no se si ese también lo venden en esa presentación.

Si el planeta de mole tuviera estas características, su gravedad superficial sería de unos \[ G\frac{3.011\times 10^{23}}{(3.8\times 10^{6})^{2}} = 1.39 \] (donde $G$ es la constante de gravitación universal) metros sobre segundo al cuadrado, que es sólo un poco menor a la de la Luna ($1.62$ metros sobre segundo al cuadrado). Muy agradable para jugar (si es que no se hunde uno), guiándonos por lo hecho por los astronautas estadounidenses, aunque lo interesante en este caso sería remover las manchas de los trajes.

En xkcd se especula sobre el calor que generaría la formación del planeta de topos, y que provocaría que surgieran géiseres de creaturas peludas. En el caso que nos ocupa, probablemente también surjan chorros de mole caliente, lo que no me suena en principio tan aterrador (más bien me despierta el apetito). Yo prefiero cerrar esta fantasía imaginando de qué tamaño tendría que ser una tortilla o una tostada para embarrarle ese mole, una vez que esté a buena temperatura y suponiendo que no se haya descompuesto. Le pregunté a Angélica qué grosor de la capa se le haría aceptable, y me dijo que como dos milímetros. La cara circular de un cilindro de ese alto tendría un radio de \[ \sqrt{\frac{2.9\times 10^{20}}{\pi}} = 2.1\times 10^{11} \] metros, o 2.1 millones de kilómetros. La embarrada de mole, centrada en el Sol, se extendería más allá de la órbita terrestre, quedando casi a medio camino hacia Marte. Buen provecho.